[C++] 골드바흐의 추측 (6588번)

골드바흐의 추측

 

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

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문제풀이

수학은 약간 약한 편이라 풀면서도 이게 맞나 싶었다.

1. 백만 개 배열을 만들어 에라토스테네스의 체를 이용해 소수 판별을 한다. 소수면 0, 소수가 아니면 1

에라토스테네스의 체는 범위가 있는 자연수에서 소수를 구하기 좋은 방법이다. 2부터 시작해서 배열이 0일 경우 해당 수는 소수가 되고 해당 수의 2 배수부터 곱하여 제한 범위의 수보다 작은 소수가 아닌 숫자를 제거(1로 바꾼다)한다. 배열이 1일 경우 이미 앞에서 걸러졌으므로 패스, 0일 경우는 소수이므로 2 배수부터 곱셈해서 소수 아닌 수 제외.

2. 백만 개 배열을 일일이 탐색해서 소수를 찾는 건 느릴 거라고 판단해서 소수만 벡터에 따로 넣어주었다.

3. 수를 입력받아 벡터를 탐색한다. 범위는 수의 절반까지 -> 만약 없다면 골드바흐의 추측은 틀렸음을 출력한다.

4. 있다면 해당 수를 출력한다.

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

int prime[1000001];

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
    vector<int> vPrime;

	// 에라토스테네스의 체
    for(int i=2; i<=1000; i++) {
        int k = 2;
        if(prime[i] == 0) {
            while(i*k <= 1000000) {
                prime[i*k] = 1;
                k++;
            }
        }
    }

    for(int i=2; i<1000001; i++) {
        if(prime[i] == 0)
            vPrime.push_back(i);
    }

    int n;
    cin >> n;
    while(n != 0) {
        for(int i=0; i<vPrime.size(); i++) {
            if(vPrime[i] > n/2) {
                cout << "Goldbach's conjecture is wrong." << "\n";
                break;
            }
            if(prime[n-vPrime[i]] == 0) {
                cout << n << " = " << vPrime[i] << " + " << n-vPrime[i] << "\n";
                break;
            }
        }
        cin >> n;
    }
    return 0;
}

결과를 보니 벡터에 넣는 게 더 느린 것 같다.. 이유가 뭐지.. 아마 소수를 빠르게 찾을 수 있기 때문인 거 같다. 용량도 많이 차지한다..