[C++] 제곱수의 합 (1699번)

제곱수의 합

 

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문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

---

문제풀이

dp는 점화식을 생각해 내는것이 제일 중요한것 같다.

현재 최소 제곱수의 합을 구하는데 이전 최소 제곱수의 합 + 1을 하면 된다.

그럼 이전 최소 제곱수의 합을 어떻게 구할까?

 

11을 예로들자.

11의 제곱수의 합 경우의 수는 다음과 같다.

10의 제곱수의 합 + 1 -> 3^2 + 1^2 + 1^2

7의 제곱수의 합 + 1 -> 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2

2의 제곱수의 합 + 1 -> 1^2 + 1^2 + 3^2

 

즉 현재 최소 제곱수의 합을 구하려면 현재 값에 1^2, 2^2, 3^2 ... 을 뺀 값의 최소 제곱수의 합중 가장 작은 값에 1을 더하면 된다. 이 때 1^2, 2^2, 3^2 ... 의 값의 경우 한번에 떨어지므로 arr[0] = 0 으로 정의해주는 것을 잊으면 안된다.

 

시간 복잡도는 n루트n이 된다.

#include <iostream>

using namespace std;

int arr[100001];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<= n; i++) {
        int v = 1;
        arr[i] = 999999999;
        while(i - v*v >= 0) {
            arr[i] = min(arr[i], arr[i-v*v]);
            v += 1;
        }
        arr[i]++;
    }
    cout << arr[n];
    return 0;
}